前回の続きです。私の趣味というかライフワークというか・・・の折鶴の話をブログにまとめています。前回は「連鶴（れんづる）」や「連環鶴（れんかんづる）」と（私が勝手に）呼んでいる、１枚の紙だけで作る立体折鶴の内容やその折り方や用語について説明しました：

（２連鶴）


（１６連環鶴）



今回はその続きで、まず「連捻鶴（れんねんづる）」／「連捻環鶴（れんねんかんづる）」と呼んでいる折り方について、その定義の意味も含めて説明します。　そしてその後、特に連捻環鶴に関して私自身が 2026 年 6 月の現在も取組中の（もしかしたら数学的な）未解決問題について説明します。

今回の説明の中でも「連鶴」「連環鶴」「折鶴の基本形」といった前回説明した用語が頻繁に出てきます。これらの意味については前回のブログを参照ください。


【連捻鶴】
まずは「連捻鶴」を説明します。「捻る（ひねる）」という文字が追加された連鶴、この名前からどんなものか想像できますか？

前回、２連鶴の折り方をこのような図を使って説明しました：



連鶴を折るための基礎知識として、各折鶴の羽根部分が繋がっている状態の紙を最初に用意する、ということを説明しました。この点は連捻鶴でも同様です。　ただ連鶴の時はこの状態から（暗黙の了解のように）折り紙の色の付いた面が表側になるように折り進めていきました（その結果、色の付いた折鶴が繋がったものが最終形になりました）：



連捻鶴はこの部分が異なります。（羽根部分で繋がっている）隣り合った正方形の一方は色の付いた面を表側に、もう一方は色の付いていない面を表側にして折り進めます。文字通り、紙を「捻って」作ります：

（この時点では「２連鶴」と同じだが、左側は色の付いた面を表に、右側は色の付いていない面を表にして折り進める）



そして「折鶴の基本形１」になった時に接続部分は内側に折りたたまれていないことが連鶴を作る条件でした：

（折鶴の基本形１まで折り進めた状態）


（連結部分が内側に折りたたまれた部分になっておらず、どちらも外側に出ているようにする）



連捻鶴で注意が必要なのはここまでです。ここまでできていれば後は普通に折り進めていくだけです：


（「折鶴の基本形２」まで折り進めた状態）



最終的には一方は色の付いた折鶴、もう一方は色の付いていない（白の）折鶴が作られ、羽根部分で繋がっている状態の２連捻鶴になります：



４連捻鶴も考え方は２連捻鶴と全く同じです。最初に４羽分の正方形が、羽根部分だけで繋がっている状態の折り紙からスタートします：


この状態から色の付いた面を表にする正方形と、色の付いていない面を表にする正方形を交互に折り進めていきます：



「折鶴の基本形１」まで折り進めた状態です。これも４つの正方形全てで連結部分が内側に織り込まれていない状態になるよう注意して作ります：


（全ての連結部分は外側に出ている状態）



ここまでできていれば後はひたすら折り進めるだけです。「折鶴の基本形２」まで作るとこんな感じになります：



最終的にはこのような「４連捻鶴」が完成します：



稀に両面に色がついた折り紙が売っています。そのような折り紙で連捻鶴を折ると、完成形に両面の色が現れるので綺麗です。下の写真は赤と緑の、クリスマスカラーの折り紙で作った４連捻鶴です：



少し注意が必要なのは、このような両面折り紙は、両面に色が塗られているぶん「紙に厚みがある」ことと、「大きな両面折り紙は（私が知る限り）存在していない」ことです。この厚みがある小さな紙で折り進める必要があることから、必然的に大きな数の連捻鶴を正確に折ることが難しくなり、難易度が増す、という点です。とはいえ、上で紹介したクリスマスカラーは綺麗だし、「紅白」で２連捻鶴を作ると、なんともおめでたい雰囲気になります。ぜひ挑戦してみていただきたい作品です。



【連捻環鶴】
上の連捻鶴の説明を読むと、なんとなく「連捻環鶴」がどういうものになるか、想像できるのではないかと思います。「連環鶴」に「捻り」の要素を加えて、１枚で２色の鶴をリング状に繋げて折るというものです。


例えば「４連捻環鶴」を作る場合、最初に用意する紙と切り込みは「４連環鶴」のものと同じです。ここからスタートしますが、色の付いた面を表にする鶴と、色の付いていない面を表にする鶴を交互に作ってゆきます：



途中は省略しますが、ここでも「折鶴の基本形１」になった時に連結部分が内側に織り込まれず、外側に出ているように折り進めていく必要がある点に注意してください。

完成するとこんな感じです。緑と白の計４羽の鶴がリング状に繋がった状態になります：



同様にして「１２連捻環鶴」はこんな感じになります。最初に１２連環鶴を作った時と同じ形状／切り込みの折り紙を用意します：



この紙を「折鶴の基本形１」になった時に連結部分が内側に織り込まれず、外側に出ているように折り進めていくと最後はこのような「１２連捻環鶴」が完成します：



連捻環鶴は２色からなる立体折り紙で鶴のリングを作ることになり、見栄えも鮮やかな作品だと思っています。作り方そのものは連環鶴と大きくは変わらないため、ぜひ多くの人に挑戦していただきたい作品です。


【未解決問題について】
連鶴、連環鶴、連捻環鶴と説明してきました。この中で特に連捻環鶴に関しては私自身もまだ完全には解決できていない、１つの問題（命題）があります。それは「捩れ（ねじれ）」に関するものです。

先程紹介したように、同じ形の連環鶴と連捻環鶴、例えば４連環鶴と４連捻環鶴は折り始める時点での１枚の紙の形、切り込みの位置や大きさなどは全く同じです。そこから同じ面を表面にして折っていくか、交互に表面を切り替えながら折っていくかに違いがあります。ただ完成した形は同じようなリング状に見えるものでした：

（４連環鶴と４連捻環鶴）






（１２連環鶴と１２連捻関鶴）






上記２種類の場合は「スタートの形は同じで、折り進め方は異なるが、どちらも完成形はリング状になる」と言えます。ただ「全ての連環鶴でこのようなことが成立するか」というと、成立しないパターンがあることが分かっています。

例えば前回紹介した８連環鶴、スタートは以下のような状態でした：


そして８連環鶴の完成形はこのようになります：



同じスタート状態から８連捻環鶴を作る場合はどうなるでしょうか？　単純に「交互に表面を入れ替えながら折り進めるだけじゃないのか？」と考える人も多いと思うのですが、実は「８連捻環鶴は作れない」のです。実際に折り進めていくと、途中でこのような状態になります：

（「折り鶴の基本形１」まで折った状態）


（「折り鶴の基本形２」まで折った状態）

↑この辺りから「捩れ」が生じている状況が見た目にもわかりやすいと思います


写真で分かるでしょうか？　よく見るとリングが途中で「捩れて」しまっているのです。この「捩れ」が生じてしまうと折り進めることが困難になるだけでなく、紙の特に切り込みを入れた連結部分に大きな負担がかかりやすくなってしまい、最後まで完成させる手前の途中で千切れやすくなってしまいます。連捻環鶴を作るためには表と裏を使うため折り紙を「捻る（ひねる）」けれど、折れなくなってしまうほど「捩れ（ねじれ）」てしまうのは困る、ということです：

（ここから更に折り進めようとがんばってみるが・・・）


（この辺りで紙が千切れる寸前の状態にまで捩れてしまいました）


同様に１６連環鶴はこのように綺麗なリング状の作品でしたが、



同じスタート形状の折り紙から１６連捻関鶴を折り進めると・・・　このようになります。こちらは奇跡的に千切れることなく折り切ることができた作品ですが、綺麗な１つのリングではなく、３次元空間内で複雑に捩れたリング状になっていることがわかります（ある意味で「完成したから、捩れがハッキリわかる作品」です。その意味でも貴重な作品）：



ちなみに↓これは途中で捩れてにっちもさっちもいかない状態になった１６連捻環鶴で、



これ↓は完全に欲を出して捩れに捩れ、少し千切れてしまい、先に進めなくなった３６連捻環鶴に挑戦した時のものです：



ここまでに分かったことは以下です：

• ４連捻環鶴は捩れずに作れる
• ８連捻環鶴は捩れてしまい、作れない
• １２連捻環鶴は捩れずに作れる
• １６連捻環鶴は捩れてしまい、作れない（上の写真は捩れたが最後まで千切れずに折れた奇跡的な例）
• （二色で作る）連捻環鶴ではなく、（一色で作る）連環鶴の場合は上のパターンは全て捩れずに作れる
  
• ３６連捻環鶴は捩れてしまい、作れない（連環鶴は試していないが、おそらく作れる）
  

特に連捻環鶴については「捩れずに作れる」パターンと「捩れて作れない」パターンがあります。

今から作ろうとしている連捻環鶴が過去に作ったことのない数の連捻環鶴だった場合に、作れるパターンなのか作れないパターンなのかを事前に知ることができればいいのですが、今のところ折り進めずに確実に知る方法がありません。これが私の未解決問題で、現在もその解明に挑んでいます。

なんとなく位相幾何学的な、数学の問題のように思えて、ある意味で私の得意分野（一応、数学で修士課程出てます）のはずなんですが、、、　これがわからないのでした。

なお連捻環鶴ではなく連環鶴の場合は経験上、切れ目を入れて最初の形を作るところ（羽部分同士で正方形が繋がって、最初の１枚と最後の１枚も羽部分でつながる形を作るところ）まで作れたものは全て（捩れずに）連環鶴を作ることができる、と思っています。ただしこちらも数学的に証明できているわけではないです（あくまで「経験上、捩れてしまった（作れなかった）ことはない」という話です）。

つまり（実はこれを言いたくて前回と今回のブログを綴ったのですが）、連環鶴や連捻環鶴が作成可能かどうかについては、現時点では以下のように考えています：
・事前に切り込みを入れて、羽同士が環状に繋がる状態が作れていれば連環鶴は作れるが、
・同じ紙で連捻環鶴が作れるかどうかは、もっと折り進めないと輪に捩れが生じるかどうかはわからない

この問題、どちらも「あくまで経験上そう考えている」だけの話です。もしどちらかだけでも証明できる人がいたら教えてほしいです。


【最後に】
特注品などを除いた場合の話ですが、おそらくこれが日本で一般的に入手できる最大の折り紙（一辺の長さは 75.0 cm）だと思っています：
トーヨー　教育おりがみ７５．０　　１０枚（１０色金銀入）




このサイズの折り紙であれば、（今のところの理論上）256 連環鶴を作ることができるのではないかと思っています。折り紙そのものは入手済みで、どこかで時間を見つけて挑戦しようと思っています。気長にお待ちください。。